Question

19．已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC=180°；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=$\frac{1}{4}$∠CDN，∠CBE=$\frac{1}{4}$∠CBM），试求∠E的度数

Answer 1

分析 （1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

解答 （1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为：180°；

（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=$\frac{1}{4}$×180°45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°

点评 本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．