Question

5．抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A、B两点（其中A在左侧，B在右侧，且经过点C（2，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D为线段AC上一动点（与A、C不重合），过D作直线EF∥y轴交抛物线于E．交x轴于F，请求出当DE最大时的E点坐标和DF长；
（3）是否存在点E，使△DCE为等腰直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C点坐标代入y=ax²-2ax-3a可求出a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先解方程-x²+2x+3=0得到A（-1，0），B（3，0），再利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=x+1，可设D（t，t+1）（-1＜t＜2），则E（t，-t²+2t+3），所以DE=-t²+t+2，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）设D（t，t+1）（-1＜t＜2），则E（t，-t²+2t+3），DE=-t²+t+2，先把表示出DF=AF=t+1得到△ADF为等腰直角三角形，则∠ADF=45°，然后分类讨论：当CE=CD，作CH⊥DE于H，如图，易得△CDE为等腰直角三角形，则CH=$\frac{1}{2}$DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，于是得到方程t-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1=2，记住解方程求出t即可得到此时D点坐标；当ED=EC，则∠ECD=∠EDC=45°，可判断EC∥x轴，所以点E的纵坐标为3，然后计算二次函数值为3所对应的自变量的值即可得到D点坐标；当DE=DC=-t²+t+2，而利用两点间的距离公式得到DC=$\sqrt{2}$（2-t），所以-t²+t+2=$\sqrt{2}$（2-t），接着解方程求出t即可得到此时D点坐标．

解答 解：（1）把C（2，3）代入y=ax²-2ax-3a得4a-4a-3a=3，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（-1，0），C（2，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=x+1，
设D（t，t+1）（-1＜t＜2），则E（t，-t²+2t+3），
∴DE=-t²+2t+3-（t+1）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，DE有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$，
此时D点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），DF的长为$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
设D（t，t+1）（-1＜t＜2），则E（t，-t²+2t+3），DE=-t²+t+2，
∵DF=t+1，AF=t-（-1）=t+1，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
当CE=CD，作CH⊥DE于H，如图，
∵∠CDE=∠ADF=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DH=EH=CH=$\frac{1}{2}$DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，
∴t-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1=2，解得t₁=1，t₂=2（舍去），此时D点坐标为（1，2）；
当ED=EC，则∠ECD=∠EDC=45°，
∴EC∥x轴，
∴点E的纵坐标为3，
当y=3时，-t²+2t+3=3，解得t₁=0，t₂=2（舍去），此时D点坐标为（0，1）；
当DE=DC=-t²+t+2，
∵DC=$\sqrt{（2-t）^{2}+（3-t-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$（2-t），
∴-t²+t+2=$\sqrt{2}$（2-t），解得t₁=$\sqrt{2}$-1，t₂=2（舍去），此时D点坐标为（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$）；
综上所述，满足条件的D点坐标为（1，2）或（0，1）或（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定与性质；会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．