【题目】阅读下列两段材料,回答问题:
材料一:点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为(,).例如,点(1,5),(3,﹣1)的中点坐标为(,),即(2,2).
材料二:如图1,正比例函数l1:y=k1x和l2:y=k2x的图象相互垂直,分别在l1和l2上取点A,B,使得AO=BO.分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为点C,D.显然,△AOC≌△OBD.设OC=BD=a,AC=OD=b,则A(﹣a,b),B(b,a).于是k1=﹣,k2=,所以k1k2的值为一个常数.一般地,一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2可分别由正比例函数l1,l2平移得到.
所以,我们经过探索得到的结论是:任意两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2的图象相互垂直,则k1k2的值为一个常数.
(1)在材料二中,k1k2= (写出这个常数具体的值);
(2)如图2,在矩形OBAC中A(4,2),点D是OA中点,用两段材料的结论,求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式;
(3)若点C′与点C关于OA对称,用两段材料的结论,求点C′的坐标.
【答案】(1)﹣1;(2)点D的坐标为(2,1),OA的垂直平分线l的解析式为y=﹣2x+5;(3)点C′的坐标为(,﹣).
【解析】
(1)将,的值相乘,即可得出结论;
(2)由点,的坐标可求出其中点的坐标,由点的坐标可得出直线的解析式,由(1)的结论可设直线的解析式为,代入点的坐标即可求出直线的解析式;
(3)由矩形的性质可得出点的坐标,由(1)的结论可设直线的解析式为,代入点的坐标可求出直线的解析式,联立直线和的解析式成方程组,通过解方程组可求出点的坐标,再由点为线段的中点可求出点的坐标.
解:(1),,
.
故答案为:;
(2)点的坐标为,点的坐标为,点是中点,
点的坐标为.
点的坐标为,
直线的解析式为.
直线直线,
设直线的解析式为.
直线过点,
,解得:,
的垂直平分线的解析式为;
(3)点的坐标为,四边形为矩形,
点的坐标为.
设直线的解析式为,
直线过点,
,即直线的解析式为.
联立直线和的解析式成方程组,得:,
解得:,
点的坐标为,,
点为线段的中点,
点的坐标为,,即,.
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【题目】从-2,-1,1,2,3这五个数中随机抽取一数,作为函数y=mx2+2mx+2中的m的值,若能使函数与x轴有两个不同的交点A、B,与y轴的交点为C,且△ABC的面积大于的概率为:_________
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【题目】为丰富学生的文体生活,育红学校准备成立“声乐、演讲、舞蹈、足球、篮球”五个社团,要求每个学生都参加一个社团且每人只能参加一个社团.为了了解即将参加每个社团的大致人数,学校对部分学生进行了抽样调查在整理调查数据的过程中,绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)被抽查的学生一共有多少人?
(2)将条形统计图补充完整.
(3)若全校有学生1500人,请你估计全校有意参加“声乐”社团的学生人数.
(4)从被抽查的学生中随意选出1人,该学生恰好选择参加“演讲”社团的概率是多少?
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【题目】如图,点是等边三角形内一点,连接,,,,.以为顶点,为一边,在外部作,且,连接,.
(1)求证:;
(2)根据推理可得__________,__________;(用含的代数式表示)
(3)探究:当为多少度时,是等腰三角形.
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【题目】如图,△ABC 是等边三角形,D 为 CB 延长线上一点,E 为 BC 延长线上点.
(1)当 BD、BC 和 CE 满足什么条件时,△ADB∽△EAC?
(2)当△ADB∽△EAC 时,求∠DAE 的度数.
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【题目】如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是ts.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
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【题目】已知抛物线L:y=x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.且点A的坐标是(﹣1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,并求出△ABC的面积;
(3)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线L′,L′与x轴相交于A'、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A'B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
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