Question

12．如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥DC，垂足分别为M、N．
求证：
（1）PA=MN；
（2）AP⊥MN．

Answer 1

分析 （1）连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=MN，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解；
（2）延长NP交AB交于G，延长AP交MN于点H，易证△PAG≌△MNP，可求得∠NPH+∠PNH=90°，可证得结论．

解答 证明：（1）如图1，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
又∵PN⊥DC，PM⊥BC，
∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∴PC=MN，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=MN；
如图2，延长NP交AB于点G，延长AP交MN于点H，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边形PMCN为矩形，
同理四边形BCNG也为矩形，
∴PM=NC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
∴PG=BG=PM，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=MC=PN，
在△PAG和△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=PN}\\{∠AGP=∠NNPM}\\{PG=PM}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△MNP（SAS），
∴∠APG=∠FMP=∠NPH，
∵∠NMP+∠PNH=90°，
∴∠NPH+∠PNH=90°，
∴AP⊥MN．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．