Question

【题目】如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且，.若抛物线与抛物线关于直线对称.

（1）求抛物线与抛物线的解析式：

（2）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）满足条件的、两点的坐标为：，；；

【解析】

（1）用待定系数法求抛物线的解析式并配方成顶点式，得到抛物线的顶点坐标D；由抛物线与抛物线关于直线x＝2对称可得两抛物线开口方向、大小相同，且两顶点关于直线x＝2对称，因此求得抛物线的顶点，进而得到抛物线的顶点式．
（2）由于BC为边，以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，所以有两种情况：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因为可把点B、C之间看作是向左（或右）平移3个单位，再向上（或下）平移3个单位得到，所以点P、Q之间也有相应的平移关系，故可由点P坐标（t，）的t表示点Q坐标，再把点Q坐标代入抛物线，解方程即求得t的值，进而求得点P、Q坐标．

解：（1）∵A（1，0）
∴OB＝OC＝3OA＝3
∴B（3，0），C（0，3）
∵抛物线：经过点A、B、C
∴
解得：
∴抛物线的解析式为

∴抛物线的顶点D（1，4）
∵抛物线与抛物线关于直线x＝2对称
∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线的顶点与点D关于直线x＝2对称
∴（3，4）
∴抛物线的解析式为；
（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
设抛物线上的P（t，）
①若四边形BCPQ为平行四边形，如图，

∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的
∴Q（t＋3，）
∵点Q在抛物线上
∴＝
解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四边形BCQP为平行四边形，如图，

∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的
∴Q（t3，）
∴
解得：t＝
∴，，

综上所述，存在，；；，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．