Question

6．如图，M为双曲线y=$\frac{2}{3x}$（x＞0）上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于点D、C两点．若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD•BC的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，对于直线y=-x+m，分别令x与y为0求出对应y与x的值，表示出A与B坐标，进而得到三角形AOB为等腰直角三角形，确定出三角形ADF与三角形CEB为等腰直角三角形，设M（a，b），代入反比例解析式求出ab的值，表示出CE与DF长，进而表示出AD与BC的长，即可求出AD•BC的值．

解答 解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y=-x+m，
令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，
∴A（0，m），B（m，0），
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为（a，b），则ab=$\frac{2}{3}$，CE=b，DF=a，
∴AD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$a，BC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$b，
∴AD•BC=$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=2ab=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．