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7.已知:如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BE,DF的中点,连接EH和FG.
(1)求证:四边形EGFH是菱形;
(2)当AB边和BC边之间满足条件:BC=2AB时,四边形EGFH是正方形.

分析 (1)先连接EF,根据四边形ABFE、四边形CDEF都是矩形,得出GE=GF,EH=FH,再根据四边形DEBF是平行四边形,得出BE=DF,最后得到EG=GF=FH=EH,即可得出结论;
(2)根据有一个角是直角的菱形是正方形进行判断即可.

解答 解:(1)连接EF,
∵矩形ABCD中,AD=BC,E,F分别是AD,BC的中点,
∴AE=BF,
又∵AE∥BF,∠A=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∴∠BFE=90°,
∵G是BE的中点,
∴Rt△BEF中,GF=$\frac{1}{2}$BE=GE,①
同理可得,EH=$\frac{1}{2}$DF=FH,②
∵DE∥BF,DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF,③
由①②③可得,EG=GF=FH=EH,
∴四边形EGFH是菱形;

(2)当AB边和BC边之间满足条件:BC=2AB时,四边形EGFH是正方形.
理由:当AB边和BC边之间满足BC=2AB时,四边形ABFE与四边形CDEF都是正方形,
故∠GEF=∠HEF=45°,
∴∠GEH=90°,
∴菱形EGFH是正方形.

点评 本题主要考查了菱形的判定,矩形的判定与性质,正方形的判定的综合运用,解决问题的关键是作辅助线,构造矩形.解题时注意:先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角,可得四边形为正方形.

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