Question

如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AH⊥BC，H是垂足，D是BC上的点，DE⊥AB，E是垂足，DF∥AB，交AC于点F．
（1）求证：△DBE∽△ABH；
（2）设BD=x，△DEF的面积为y，写出y关于x的函数关系式；
（3）当△DEF的面积y为最大时，求tan∠EFD的值．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥AB，AH⊥BC
∴∠BED=∠AHB=90°
∵∠B=∠B
∴△DBE∽△ABH．

（2）解：BC=10，BH=5，AH==12，BD=x，CD=10-x，ED=x
∵DF∥AB
∴DF：AB=CD：CB
∵DF=1.3（10-x）
∴y=0.5×x×1.3（10-x）=0.6x（10-x）

（3）解：y=0.6x（10-x）=-0.6（x-5）²+15，
∵当△DEF的面积y为最大时，x=5，ED=，DF=6.5
∴tan∠EFD=ED：DF=
分析：（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）y关于x的函数关系式，根据△DEF的面积=0.5ED•DF可以得出；
（3）求tan∠EFD的值，即求ED：DF的值，由△DEF的面积y为最大，得出x的值，确定ED，DF的长度．
点评：本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式，同时考查了三角函数的计算．