Question

如图，BE，CF是△ABC的高，在BE上截取BP=AC，在CF的延长线上截取CQ=AB，求证：AP=AQ，∠QAP=90°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先证明△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．

解答：证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACQ=90°-∠BAC．
∵BP=AC，CQ=AB，
在△APB和△QAC中，

BP=AC ∠ABE=∠ACQ CQ=AB

，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP=∠CQA，AP=AQ，
∵∠CQA+∠QAF=90°，
∴∠BAP+∠QAF=90°．
即AP⊥AQ．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．