Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为_____．

Answer 1

【答案】45°或135°．

【解析】

当△ADB是以AD为腰的等腰三角形，可以分两种情况进行讨论：①AD＝AB，②AD＝BD；

①当AD＝AB时，又分两种情况：

当点D在AC边上方时，如图1所示．由△ACD为等边三角形，得∠CAD＝60°，根据角的关系可得结论；

当点D在AC边下方时，如图2所示．同理可得结论；

②当AD＝BD时又分两种情况：

当点D在BC的上方，如图3所示．作辅助线，证明∠EDA＝∠ADC，根据角平分线的性质得：AF＝AE＝AB＝AC，利用直角三角形30°角的判定得：Rt△AFC中，∠ACF＝30°，从而得出结论；

当D在BC的下方时，如图4，同理构建矩形AEFC，由CF＝AB＝AC＝CD，得Rt△CFD中，∠CDF＝30°，可得结论．

解：①当AD＝AB时，

∵AB＝AC，CD＝AC，AD＝AB，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD为等边三角形．

当点D在AC边上方时，如图1所示．

∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，△ACD为等边三角形，

∴∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°．

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝15°，

∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝60°﹣15°＝45°；

当点D在AC边下方时，如图2所示．

∵∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝30°．

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝75°，

∴∠CDB＝∠ADB+∠ADC＝75°+60°＝135°．

②当AD＝BD时，

当点D在BC的上方，如图3所示．

过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥CD于F，

∴∠BED＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BED＝∠BAC，

∴ED∥AC，

∴∠EDA＝∠DAC，

∵AD＝CD，

∴∠ADC＝∠DAC，

∴∠EDA＝∠ADC，

∴AF＝AE＝AB＝AC，

Rt△AFC中，∠ACF＝30°，

∴∠ADC＝＝75°，

∴∠ADB＝2∠ADE＝2∠ADC＝150°，

∴∠CDB＝360°﹣150°﹣75°＝135°；

当D在BC的下方时，如图4，

过D作DE⊥AC于E，过C作CF⊥ED于F，

∴∠AEF＝∠BAC＝∠EFC＝90°，

∴四边形AEFC是矩形，

∴CF＝AE，

∵AD＝BD，DE⊥AB，

∴AE＝AB，∠ADE＝∠BDE，

∴CF＝AB＝AC＝CD，

Rt△CFD中，∠CDF＝30°，

∵AC∥ED，

∴∠CAD＝∠ADE，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠ADC，

∴∠CDA＝∠ADE＝∠CDF＝15°，

∴∠ADB＝30°，

∴∠CDB＝45°．

综上所述，则∠CDB的度数为45°或135°；

故答案为：45°或135°．