Question

10．如图，直线l₁：y=4x与直线l₂：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$相交于点A，l₂和x轴相交于点B，OC⊥l₂，垂足为C，动点P以每秒1个单位长度的速度从原点O出发沿线段OC向C匀速运动，点P关于y轴的对称点为M，连接AM．设点P的运动时间为t（秒），AM²=S（单位长度²）．求：在点P的运动过程中，AM能否等于AB？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 在点P的运动过程中，AM不能等于AB，理由为：根据直线l₂解析式求出B与D坐标，联立两直线解析式求出A坐标，确定出OB与OD的长，利用勾股定理求出BD的长，利用面积公式求出OC的长，根据C在直线l₂上，设出C坐标，根据勾股定理求出x的值，确定出C坐标，过C作CF⊥OB于点F，过P作PE⊥OB于点E，求出CF与OF的长，设OP=t，由PE与CF平行，得出三角形POE与三角形COF相似，由相似得比例，表示出PE与OE的长，得出P坐标，进而表示出M坐标，由AM=AB，利用两点间的距离公式列出关于t的方程，求出t的值，检验即可做出判断．

解答 解：在点P的运动过程中，AM不能等于AB，理由为：
设l₂：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$于y轴交于点D，则D（0，$\frac{20}{3}$），与x轴交于点B（5，0），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{4}$，5），
∴OD=$\frac{20}{3}$，OB=5，
∴根据勾股定理得：BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
由S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•OB=$\frac{1}{2}$BD•OC，得到OC=$\frac{OB•OD}{BD}$=$\frac{5×\frac{20}{3}}{\frac{25}{3}}$=4，
∵点C在y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$上，设C（x，-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$），
在Rt△COF中，根据勾股定理得：OC²=OF²+CF²，即x²+（-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$）²=4²，
解得：x=$\frac{16}{5}$，
∴C（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
过C作CF⊥OB于点F，过P作PE⊥OB于点E，则有CF=$\frac{12}{5}$，OF=$\frac{16}{5}$，
设OP=t，
∵PE∥CF，
∴△POE∽△COF，
∴$\frac{PE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{OP}{OC}$，即$\frac{PE}{\frac{12}{5}}$=$\frac{OE}{\frac{16}{5}}$=$\frac{t}{4}$，
解得：PE=$\frac{3}{5}$t，OE=$\frac{4}{5}$t，即P（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
∴M（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
要使AM=AB，则有[$\frac{5}{4}$-（-$\frac{4}{5}$t）]²+（5-$\frac{3}{5}$t）²=（5-0）²+（5-$\frac{5}{4}$）²，
解得：t=2±$\frac{\sqrt{66}}{2}$均不合题意，
∴在点P的运动过程中，AM不能等于AB．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，两直线的交点坐标，勾股定理，三角形面积公式，相似三角形的判定与性质，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．