Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线y=x与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．
把y=3代入y=x中得，x=4，
∴D（4，3）；

（2）抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax²+bx中，
得
解之得
∴抛物线的解析式为y=-x²+x；

（3）因△POA底边OA=6，
∴当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
∵a=-＜0，
∴抛物线顶点恰为最高点，

∴S_△POA的最大值=×6×=；

（4）抛物线的对称轴与x轴交于点Q₁，符合条件．
∵CB∥OA∠Q₁OM=∠CDO，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．x=-=3，该点坐标为Q₁（3，0）．
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，

∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC．
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中
Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO．
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）．
因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．
分析：（1）已知直线y=x与BC交于点D（x，3），把y=3代入等式可得点D的坐标；
（2）如图抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；
（3）当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点．因为a＜0可推出抛物线顶点恰为最高点；
（4）证明Rt△Q₁OM∽Rt△CDO以及Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO后推出CD=Q₁Q₂=4得出符合条件的坐标．
点评：本题考查的是三角形面积的计算，二次函数的综合运用．难度较大．