Question

（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45度．求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD•AE的值．

Answer 1

分析：（1）可通过构建全等三角形将所求的三条线段转换到同一个三角形中，然后证明那个三角形是直角三角形即可．可以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，连接DF、EF，那么我们可得出△CFE≌△CBE，于是EF=BE，然后我们再设法求得AD=DF，就能将三条线段转换到同一三角形中了．要证明AD=DF就要证明三角形DCF和DCA全等．这两个三角形中已知的条件AC=BC=CF，又有一条公共边只要证得两组对应边的夹角相等即可．∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，那么∠DCA+∠ECB=45°，因此∠DCF=∠DCA这样就构成了三角形全等的条件，那么两三角形全等，AD=DF，根据上面两组全等三角形，我们可得出∠1+∠2=∠A+∠B=90°，因此三角形DEF是个直角三角形，那么也就得出AD、DE、BE总能构成一个直角三角形了．
（2）解题思路和辅助线作法与（1）完全相同，只不过得出AD=DF，EF=BE后，要使三角形DEF是个等腰三角形就要让DE=EF，即AD=BE，那么这个条件就是AD=BE．
（3）本题可通过相似三角形得出线段的比例来求得．∠AEB=45°+∠BCE=∠BCD，∠A=∠B=45°，我们可得出AE：BC=AC：BD，即BD•AE=AC•BC=AC²，直角三角形ACB中，我们知道AC²+BC²=AB²，即AC²=50，那么BD•AE=50．

解答：（1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC．
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE．
∴FE=BE，∠1=∠B=45°．
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，
∴∠DCA+∠ECB=45°．
∴∠DCF=∠DCA．
又∵AC=CF，CD=CD
∴△DCF≌△DCA．
∴∠2=∠A=45°，DF=AD．
∴∠DFE=∠2+∠1=90°．
∴△DFE是直角三角形．
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形．

（2）解：当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图2，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE．
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
且顶角∠DFE为120°．

（3）解：如图1，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A．
又∠DCE=∠A=45°，
∴∠ACE=∠CDB．
又∠A=∠B，
∴△ACE∽△BDC．
∴

AE

BC

=

AC

BD

．
∴BD•AE=AC•BC．
∵Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²=10²，得AC²=BC²=50．
∴BD•AE=AC•BC=AC²=50．

点评：本题中利用全等或相似三角形来得出角相等，线段相等或成比例是解题的关键．