Question

10．如图①，将一等腰直角三角形纸片OAB和一正方形纸片OEDF靠在一起，连接AE、BF．
（1）猜想AE与BF有怎样的数量关系和位置关系，直接写出结论；
（2）如图②，将正方形纸片OEDF绕点O顺时针旋转45°至正方形OE′D′F′位置，（1）中猜想是否仍然成立，并说明理由；
（3）在图①中，若AE是BF的垂直平分线，求OA：OE的值．

Answer 1

分析 （1）如图①，AE=BF，AE⊥BF，理由是：先证明△AOE≌△BOF，可得结论；
（2）如图②，结论仍然成立，理由是：同理证得△AOE′≌△BOF′得AE′=BF′和∠OAE′=∠F′BO，再根据三角形内角和与对顶角相等可得∠ANB=90°，所以AE′⊥BF′；
（3）如图③，连接EF，根据垂直平分线的性质可知：BE=EF，设OE=x，则OF=x，由勾股定理求出EF的长，就是BE的长，则OB=$\sqrt{2}$x+x，从而得出OA的长，求结论即可．

解答 解：①如图①，AE=BF，AE⊥BF，理由是：
延长AE交BF于点C，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵四边形OEDF是正方形，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠AOB=∠EOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF，∠OAE=∠OBF，
∵∠AEO=∠BEC，
∴∠BCA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）如图②，结论仍然成立，理由是：
∵∠AOE′=90°+∠BOE′，∠BOF′=90°+∠BOE′，
∴∠AOE′=∠BOF′，
∵AO=BO，E′O=F′O，
∴△AOE′≌△BOF′，
∴AE′=BF′，∠OAE′=∠F′BO，
∵∠AMO=∠BME′，
∴∠ANB=∠AOB=90°，
∴AE′⊥BF′；
（3）如图③，连接EF，设OE=x，则OF=x，
∴EF=$\sqrt{2}$x，
∵AE是BF的垂直平分线，
∴EB=EF=$\sqrt{2}$x，
∴OB=OA=$\sqrt{2}$x+x，
∴OA：OE=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形和全等三角形的性质与判定，本题的关键利用正方形边长相等和等腰直角三角形的腰相等及夹角相等，证明两个三角形全等，从而得出结论；对于比值的计算，解题思路为：巧妙地设一边为x，利用勾股定理及其它相等关系表示出要计算比值的线段，代入即可．