Question

25、如图已知四边形ABCD、AEFP，均为正方形．
（1）如图1若连接BE、DP猜想BE与DP满足怎样的数量关系和位置关系；
（2）如图2若四边形AEFP绕点A按逆时针方向旋转，在旋转过程中，（1）中猜想出的结论是否总成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3若四边形AEFP绕点A按逆时针方向继续旋转，在旋转过程中，（1）中猜想出的结论是否总成立？直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，证得△DPA≌△BEA，进而得到△DHE∽△DAP，再根据全等三角形的性质求得对应线段相等．
（2）（3）可与（1）证法相同，利用旋转得到对应角相等，进而证出相关三角形全等或相似，即可得到结论．

解答：解：（1）∵△DPA≌△BEA，
∴BE=DP，
延长DP交BE于H，可证△DHE∽△DAP，即可证得DF⊥BE；
BE=DP，DP⊥BE．（2分）

（2）成立．（3分）
证明：连接BE、DF，延长DP交AB、BE于点M、N．
在△APD和△AEB中，
∵AD=AB，∠DAP=∠BAE，AE=AF，
∴△APD≌△AEB，
∴BE=DP，（6分）
在△ADM和△NBM中，
∵△APD≌△AEB，
∴∠ADP=∠NBM，
∵∠AMD=∠NMB，
∴∠DAM=∠MNB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAM=∠MNB=90°；
即DP⊥BE．（9分）

（3）成立．
证明：根据旋转的性质可得，∠EAB=∠PAD，
又∵EA=PA，PD=EB，
∴△DPA≌△BEA，
可得，BE=DP．
又因为△DRQ∽△BAQ，
故∠DRB=∠DAB=90°，
DP⊥BE．（10分）

点评：解答本题要充分里利用正方形的特殊性质，利用其性质再证三角形全等和相似，就可得出结论．