Question

18．如图，直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AB=8，以AB中点为原点，AB边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，AC边交y轴于点M，直线BN交y轴于点N
（1）求点C的坐标；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）求证：MC=MO；
（4）将线段OC沿x轴平移到O₁C₁，如果O₁C₁将三角形ABC的面积分为1：3两部分，出此时点O₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角三角形，利用30°角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求OD和CD的长，写出点C的坐标；
（2）利用待定系数法求直线BC的解析式；
（3）利用三角函数求OM、AM、AC、MC的长，则MC=MO；
（4）分两种情况：当OC向右平移时，如图2；当OC向左平移时，如图3；根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出OO₁的长，注意O₁的位置，写出坐标．

解答 解：（1）如图1，过C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠BCD=∠CAB=30°，
在Rt△ACB中，AB=8，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，CD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OD=OB-BD=4-2=2，
∴C（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）设BC的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0），C（2，2$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的函数解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△AOM中，∵∠CAB=30°，OA=4，
∴tan30°=$\frac{OM}{AO}$，
∴OM=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=2OM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴MC=4$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴MC=MO；
（4）分两种情况：当OC向右平移时，如图2，${S}_{△{O}_{1}FB}$：S_△ACB=1：3，
∵O是AB的中点，
∴S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ACB，
∴${S}_{△{O}_{1}FB}$：△_COB=2：3，
∵O₁C₁∥OC，
∴O₁B²：OB²=2：3，
∴O₁B=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∵O₁B=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$不符合题意，舍去，
∴OO₁=4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴O₁（4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0），
当OC向左平移时，如图3，同理可得：O₁A=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴O₁（-4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0），
综上所述，点O₁的坐标为（4-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0）或（-4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，0）．

点评 本题是一次函数和直角三角形的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了勾股定理、30°角的直角三角形、相似三角形的性质，熟知：①直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半；②相似三角形面积的比等于相似比的平方．