Question

8．如图，在平面图形中，AC∥DF，AB=AC，DE=DF，且∠BAC=∠EDF，P、M、N分别是AD、BE、CF的中点，连接PM、PN、MN．
（1）求证：PM=PN；
（2）求证：∠MPN=∠BAC．

Answer 1

分析 （1）根据梯形的中位线的性质得到NP∥AC∥DF，PN=$\frac{1}{2}$（AC+DF），同理PM∥AB∥DE，PM=$\frac{1}{2}$（AB+DE），由已知条件得到AB+DE=AC+DF，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠NPD=∠CAP，∠MPD=∠BAP，然后又角的和差即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AC∥DF，P、N分别是AD、CF的中点，
∴NP∥AC∥DF，
∴PN=$\frac{1}{2}$（AC+DF），
同理PM∥AB∥DE，PM=$\frac{1}{2}$（AB+DE），
∵AB=AC，DE=DF，
∴AB+DE=AC+DF，
∴PM=PN；

（2）∵NP∥AC，
∴∠NPD=∠CAP，
∵PM∥AB，
∴∠MPD=∠BAP，
∴∠NPD-∠MPD=∠CAP-∠BAP，
∴∠MPN=∠BAC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，梯形的中位线的性质，熟练掌握梯形中位线的性质是解题的关键．