Question

3．四边形ABCD中，AD=CD，∠ADB=∠ACB，DE∥AC，交BC延于E，求证：AD²=AF•DE．

Answer 1

分析 由AD=DC可得∠DAC=∠DCA，因为AC∥DE可得∠DCA=∠CDE，所以可证得∠DAF=∠CDE，再由已知条件和平行线的性质可证明∠ADF=∠E，进而可得△ADF∽△DEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AD²=AF•DE．

解答 证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AC∥DE，
∴∠DCA=∠CDE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠E，
∴△ADF∽△DEC．
∴AD：DE=CD：AF，
∴AD•CD=AF•DE，
∵AD=CD，
∴AD²=AF•DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．解本题的关键是注意图形中相等线段的代替（AD=CD）．