Question

已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   75°

Answer 1

C
分析：设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．因为锐角△ABC的垂心在三角形内部，设H为三角形的垂心．得到平行四边形AHCE，根据已知条件和三角形的中位线定理，得OB=AH=CE=2OD，根据直角三角形的边角关系求得∠BOD=60°，进一步根据圆周角定理求解．
解答：解：如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．
锐角△ABC的垂心在三角形内部，
设H为三角形的垂心，则CE∥AH，AE∥CH．
则OB=AH=CE=2OD，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=∠BOD=60°．
故选C．
点评：此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及垂心、外心的概念，三角形的垂心即为三角形的三条高的交点，三角形的外心即为三角形的垂直平分线的交点．