Question

【题目】直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点C，抛物线经过点A、点C，且与x轴的另一个交点为B（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点．

①如图1，若CD=AD，求点D的坐标；

②如图2，BD与AC交于点E，求S△CDE：S△CBE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①D（，）；②S△CDE：S△CBE的最大值为．

【解析】分析：（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求出函数的解析式；

（2）①根据等腰直角三角形的性质，确定点D的在y=x上，设出点D的坐标，代入y=﹣x2+x+2即可得到函数的解析式；

②作DF∥y轴交AC于F，BG∥y轴交直线AC于G，证得△DEF∽△BEG，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系，设出D点的坐标（t，﹣t2+t+2），再根据相似比的性质和二次函数的最值求解即可.

详解：（1）当x=0时，y=﹣x+2=2，则C（0，2），

当y=0时，﹣x+2=0，解得x=2，则A（2，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，2）代入得a1（﹣2）=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2），

即y=﹣x2+x+2；

（2）①∵OA=OC，

∴△OAC为等腰直角三角形，

∵DC=DA，

∴点D在AC的垂直平分线上，

即点D在直线y=x上，

设D（m，m）（m＞0），

把D（m，m）代入y=﹣x2+x+2得﹣m2+m+2=m，解得m1=，m2=﹣（舍去），

∴点D的坐标为（，）；

②作DF∥y轴交AC于F，BG∥y轴交直线AC于G，如图2，

∵DF∥BG，

∴△DEF∽△BEG，

∴=，

∵S△CDE：S△CBE=，

∴S△CDE：S△CBE=，

当x=﹣1时，y=﹣x+2=3，则G（﹣1，3），

设D（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜2），则F（t，﹣t+2），

∴DF=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，

∴S△CDE：S△CBE===﹣（t﹣1）2+，

∴当t=1时，S△CDE：S△CBE的最大值为．