Question

在平面直角坐标系的x轴上有两点A（x₁，0），B（x₂，0），在y轴上有一点C，已知x₁，x₂是方程x²-m²x-5=0的两根，且x₁²+x₂²=26，△ABC面积是9．
（1）A，B，C三点的坐标；
（2）求图象过A，B，C三点的二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）由已知得x₁+x₂=m²，x₁•x₂=-5，又x₁²+x₂²=26，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=26，（m²）²+10=26，
∴m²=4，原方程为x²-4x-5=0
解得，x₁=-1，x₂=5，AB=6，
设C（0，h），则：×6×|h|=9，h=±3
∴A（-1，0）B（5，0），C（0，3）或（0，-3）；

（2）设抛物线交点式：y=a（x+1）（x-5），
当C（0，3）时，代入得a=-，
二次函数解析式为y=-x²+x+3；
当C（0，-3）时，a=，
二次函数解析式为y=x²-x-3．
分析：（1）已知x₁，x₂是方程x²-m²x-5=0的两根，可根据两根关系及x₁²+x₂²=26，结合起来求m；
（2）由（1）可知m²=4，方程为x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5；可设抛物线解析式的交点式，然后根据面积求C点坐标，代入即可得二次函数解析式．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，抛物线解析式的求法，面积与点的坐标的关系等知识．