分析:(1)求出对称轴,根据①BE定值,故当P为直线AE与抛物线对称轴交点时,△PBE的周长最小,求出P点坐标;②当点Q位于直线EB与抛物线对称交点时,QE-QB的值最大,据此求出Q点坐标.
(2)若直线CD与⊙B相切,∠EAO=α,则∠ADB=∠ODC=α,在Rt△AOE中,易求得∠DEO=∠EDC=90°-α,∠DOE=α,故有CE=CD=OC,即是OE中点,判断出关系式;
(3)设抛物线对称轴与x轴交与T,则S
△CPB=S
梯形OCPT-S
△CPB-S
△COB,列出面积的表达式
t,根据t的取值范围求出面积的取值范围.
解答:解:(1)当y=0时,a(x+10)(x+5)=0,x
1=-10,x
2=-5.
对称轴为x=
=-7.5;
①如图a,∵点B和点A关于抛物线对称轴对称,而对于每一个确定的t值,BE定值,故当P为直线AE与抛物线对称轴交点时,△PBE的周长最小.
易求得直线EA对应的一次函数为:y=
x+2t,当x=-7.5时,y=0.5t,即P(-7.5,0.5t).
②如图b,当点Q位于直线EB与抛物线对称交点时,QE-QB的值最大,否则Q、B、E三点构成三角形,则QE-QB<EB,
由直线EB对应一次函数为:y=
x+2t,当x=-7.5时,y=-t,即Q(-7.5,-t);
(2)如图c,令y=a(x+10)(x+5)中,x=0,得C(0,50a),
解法1:若直线CD与⊙B相切,连接BD,则BD⊥DC,又AO是⊙B的直径,
∴AD⊥DO,若设∠EAO=α,则∠ADB=∠ODC=α,在Rt△AOE中,
易求得∠DEO=∠EDC=90°-α,
∠DOE=α,故有CE=CD=OC,即是OE中点,故100a=2t,即t=50a.
解法2:∵CD、CO都与⊙B相切,
∴CD=CO,
∴∠CDO=∠COD,
在Rt△EDO中,∠DEO+∠DOE=90°,∠EDC+∠ODC=90°,
∴∠EDC=∠OEDC,
∴CD=CE,又由CD=CO,
∴CE=CO,即C是OE中点,
故100a=2t,即t=50a.
(3)解法1:易证Rt△OAD∽Rt△EAO,设OD=x,即
=
,即x
2=
,由36≤
≤64,得
≤t≤
.
由(1)P(-7.5,0.5t),由(2)C(0,t),如图d,设抛物线对称轴与x轴交与T,则S
△CPB=S
梯形OCPT-S
△CPB-S
△COB=
(0.5t+t)×
-
×
×0.5t-
×5×t=
t,
∵
≤
t≤
,
∴△CPB的面积的取值范围是:
≤S
△CPB≤
.
解法2:由图e,当OD最长时,在Rt△AOD中,tan∠DAO=
=
,
在Rt△AOE中,tan∠EAO=
=
=
,即t=
,
同理,当OD最短时,t=
,故
≤t≤
,
如图e(为了清晰,隐藏了抛物线),
∵AE∥BC,
∴S
△PBC=S
△DBC,
又∵S
△OBC=S
△DBC,
∴S
△PBC=S
△OBC=
,
∵
≤
t≤
,
∴△CPB的面积的取值范围是:
≤S
△CPB≤
.