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已知,如图,在△ABC中,AB=AC,直线EF交BC于点D,交AB于点E,交AC的延长线于点F,且DE=DF.

求证:BE=CF.

答案:
解析:

  证明:在BD上取点G,使DG=DC.

  在△DEG和△DFC中,

  DE=DF,

  ∠EDG=∠FDC(对顶角相等),

  DG=DC,

  ∴△DEG≌△DFC(SAS),

  ∠EGD=∠FCD,

  EG=CF.

  ∵∠EGD=∠FCD,

  ∴EG∥FC(内错角相等,两直线平行).

  ∠EGB=∠ACB(两条直线平行,同位角相等).

  ∵AB=AC,

  ∴∠B=∠ACB(△ABC为等腰三角形),

  即∠B=∠EGB,BE=EG(△BEG为等腰三角形),

  从而,BE=CF.

  说明:(1)添辅助线构造全等三角形,目的在于创造条件证明两条线段(或两个角)相等;

  (2)EG与FC平行而且相等,起到转移线段和角的作用(∠EGB=∠ACB).


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           ∠1=∠2;
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