Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，分别连接AC、CD、AD．

（1）求抛物线的函数表达式以及顶点D的坐标；

（2）在抛物线上取一点P（不与点C重合），并分别连接PA、PD，当△PAD的面积与△ACD的面积相等时，求点P的坐标；

（3）将（1）中所求得的抛物线沿A、D所在的直线平移，平移后点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，当四边形AA′C′C是菱形时，求此时平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）或；（3）①当A′在x轴上方时，如图2，A′的坐标为（﹣1，2）．②当A′在x轴下方时，如图3，同理可得：平移后的抛物线为y＝

【解析】

（1）求得C的坐标，然后根据A、B点的坐标设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入c的坐标即可求得a，求得解析式，进而求得顶点坐标；

（2）先求得直线AD的解析式，然后求得线段AD交y轴于点E点的坐标，过点C作直线l1∥AD，则直线l1的解析式为y＝2x+3，求得与抛物线的交点C，由C的坐标即可判定在线段AD上方的抛物线上不存在使△PAD的面积与△ACD的面积相等的点P，将直线AD沿竖直方向向下平移1个单位长度，所得的直线l2的解析式为y＝2x+1．直线l2与抛物线交于点P，则此时△PAD的面积与△ACD的面积相等，联立方程即可求得交点P的坐标；

（3）设A′的坐标为（t，2t+2），则得出A′A2＝5（t+1）2．AC2＝10．由四边形AA′C′C是菱形，则AC＝AA′．从而得出5（t+1）2＝10．解得t1＝﹣1，t2＝﹣﹣1，即可求得A′的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣2），然后分两种情况讨论求得即可．

解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3可知C的坐标为（0，3），

设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），

代入C（0，3）得﹣3a＝3．

∴a＝﹣1．

∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3，

∵对称轴为直线x＝＝1，

代入上式，得y＝﹣（1+1）（1﹣3）＝4．

∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）∵C（0，3），OC＝3．

设直线AD的解析式为y＝kx+m，则

，解得

∴直线AD的解析式为y＝2x+2，

设线段AD交y轴于点E，则E（0，2）．

∴CE＝OC﹣OE＝3﹣2＝1．

过点C作直线l1∥AD，则直线l1的解析式为y＝2x+3，如图1，

由﹣x2+2x+3＝2x+3，解得x1＝x2＝0．

将x＝0代入y＝2x+3，得y＝3．

∴直线l1与抛物线只有一个交点C．

∴在线段AD上方的抛物线上不存在使△PAD的面积与△ACD的面积相等的点P，

将直线AD沿竖直方向向下平移1个单位长度，所得的直线l2的解析式为y＝2x+1．

直线l2与抛物线交于点P，则此时△PAD的面积与△ACD的面积相等．

由﹣x2+2x+3＝2x+1，解得x1＝，x2＝﹣．

∴y1＝2+1，y2＝﹣2+1．

∴点P的坐标为（，2+1）或（﹣，﹣2+1）．

（3）设A′的坐标为（t，2t+2），

则A′A2＝（t+1）2+（2t+2）2＝5（t+1）2．AC2＝12+32＝10．

∵四边形AA′C′C是菱形，

∴AC＝AA′．

∴5（t+1）2＝10．解得t1＝﹣1，t2＝﹣﹣1．

∴A′的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣2）．

①当A′在x轴上方时，如图2，A′的坐标为（﹣1，2）．

将点A先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度就得到点A′，

∴将点D（1，4）先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度就得到点D′（+1，2+4）．

∴平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣﹣1） 2+4+2，

②当A′在x轴下方时，如图3，同理可得：平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣1+） 2+4﹣2．