Question

【题目】在矩形ABCD中，M为AD边上一点，MB平分∠AMC．

（1）如图1，求证：BC＝MC；

（2）如图2，G为BM的中点，连接AG、DG，过点M作MN∥AB交DG于点E、交BC于点N．

①求证：AG⊥DG；

②当DGGE＝13时，求BM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠AMB＝∠MBC，根据角平分线的定义得到∠AMB＝∠BMC，根据等腰三角形的判定定理证明；

（2）①连接GC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BGC＝90°，证明△AGD≌△BGC，根据全等三角形的性质证明；

②证明△MGE∽△DGM，根据相似三角形的性质计算即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AMB＝∠MBC，

∵MB平分∠AMC，

∴∠AMB＝∠BMC，

∴∠BMC＝∠MBC，

∴BC＝MC；

（2）①证明：连接GC，

∵CM＝CB，G为BM的中点，

∴∠BGC＝90°，

∵∠BAM＝90°，G为BM的中点，

∴GA＝GB＝GM，

∴∠GAB＝∠GBA，

∴∠GAD＝∠GBC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴∠AGD＝∠BGC＝90°，即AG⊥DG；

②解：∵MN∥AB，

∴∠MNB＝90°，又∵∠BGC＝90°，

∴∠BMN＝∠BCG，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GDM＝∠BCG，

∴∠BMN＝∠GDM，又∠MGE＝∠DGM，

∴△MGE∽△DGM，

∴，

∴MG2＝DGGE＝13，

∴MG＝，

∴BM＝2．