Question

14．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=$\frac{1}{2}$BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；
（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．

解答 （1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC
∵延长BC至点F，使CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=FC；

（2）解：∵DE∥FC，DE=FC
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理等知识，得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC是解题关键．