Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）求AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解一元二次方程-公式法,圆周角定理

专题：计算题,证明题

分析：易证△CDE∽△CAD进而求证

CD

AC

=

AE

AB

，再根据AB=AC，可得AE=CD；
（2）由△CDE∽△CAD可得

CD

CA

=

CE

CD

，设AE=x，则CE=d-x，于是x²=d（d-x），解x的值即可解题．

解答：（1）证明：如图，连接AD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴

CD

AC

=

DE

AD

①
又∵△ADE∽△BDA
∴

DE

AD

=

AE

AB

②
由①、②得

CD

AC

=

AE

AB

又∵AB=AC，可得AE=CD

（2）解：又由△CDE∽△CAD可得

CD

CA

=

CE

CD

，
即AE²=CD²=CE×CA
设AE=x，则CE=d-x，于是x²=d（d-x）
即有AE=x=

5 -1

2

d（负值已舍去）

点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应边相等的性质，考查了一元二次方程的求解，本题中求△CDE∽△CAD是解题的关键．