精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
1.如图,P是正方形ABCD对角线BD上的一动点(不与B、D重合),PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足.
(1)求证:四边形FCEP为矩形;
(2)求证:四边形FCEP的周长是定值:
(3)求证:AP=EF;
(4)在P点运动过程中,EF的长也随之变化,若正方形ABCD的边长为2.求EF的最小值.

分析 (1)证出四边形FCEP有三个角为直角即可;
(2)证出△PDE是等腰直角三角形,得出PE=DE,再由矩形的性质即可得出结论;
(3)利用正方形的关于对角线成轴对称得出AP=CP,利用矩形的性质得出EF=CP,即可得出结论;
(4)由EF=AP,得出EF的最小值即为AP的值,问题得解.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,
∵PE⊥DC,PF⊥BC,
∴∠PED=∠PEC=∠PFC=90°,
∴四边形FCEP为矩形;
(2)证明:∵四边形FCEP为矩形,
∴PE=CF,PF=CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠PDE=45°,
∵∠PED=90°,
∴△PDE是等腰直角三角形,
∴PE=DE=CF,
∴四边形FCEP的周长=2(PE+CE)=2(DE+CE)=2CD,
即四边形FCEP的周长是定值;
(3)证明:如图,连接PC,
∵四边形PECF为矩形,
∴PC=EF,
又∵四边形ABCD是正方形,P为BD上任意一点,
∴PA、PC关于BD对称,
∴PA=PC,
∴AP=EF;
(4)解:由(3)可知AP=EF恒成立,则EF的最小值转化为AP的最小值,
∴当AP⊥BD时,AP取得最小值,AP=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$;
故EF的最小值为$\sqrt{2}$.

点评 本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题;熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解决问题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

11.若等腰三角形的周长是100cm,腰长为y(cm),底边长为x(cm),则能反映y与x之间的函数关系的图象是
(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD(不是直径)交AB于点E,且CE=DE,过点B作BF∥CD交AC的延长线于点F,连接OF,
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)若CP=1,BD=2,求OF的长和图中阴影部分的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

9.如图,A、B是反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k>0)图象上关于原点O对称的两点,直线AC经过点C(0,-2)与x轴交于点D,若C为AD中点,△ABD的面积是5,则点B的坐标为($\frac{5}{4}$,4).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(-1,0),(3,0)两点,下列说法正确的个数是(  )
①2a+b=0;       ②当-1≤x≤3时,y<0;       ③4a+c>0;
④若(x1,y1),(x2,y2)是抛物线上的两点,当x1<x2时,y1<y2
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.如图,已知:AD=BC,BE⊥AC,DF⊥AC,且BE=DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)AB∥CD.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

13.把下列各式分解因式:
(1)x2-y2-x+3y-2;
(2)6xy+4x+3y+2.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.已知10m=2,10n=3,求103m+2n+1的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

7.已知k1<0<k2,则函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=k2x-1在同一坐标系中的图象大致是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案