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    2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
    （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有符合条件的点N的坐标；
    （3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由．

    分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．将点A、B、C的坐标代入得到关于a、b、c的方程，从而可求得a、b、c的值；
    （2）分为AB为菱形的边和AB为菱形的对角共可画出4种不同的图形，然后依据菱形对边平行，对角线互相平分的性质确定出点N的坐标即可；
    （3）如图5所示：分别以点A和点P为直角的顶点作出等腰直角△APQ，然后由抛物线的对称轴方程求得点P的坐标，过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．
    然后证明△AOP≌△PMQ1，由全等三角形的性质可求得Q1M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2，于是可求得点Q1的坐标．

    解答 解：（1）由题意可知；A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）．
    设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
    所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2．
    （2）如图1所示：
    ∵四边形ABNM为菱形，
    ∴OA=ON．
    ∴点N的坐标为（0，-2）．

    如图2所示：

    由勾股定理可知：AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
    ∵四边形ABMN为菱形，
    ∴NA∥BM，AN=AB，
    ∴点N的坐标为（-$\sqrt{5}$，2）．
    如图3所示；

    ∵四边形ABMN为菱形，
    ∴NA∥BM，AN=AB．
    ∴点N的坐标为（$\sqrt{5}$，2）．
    如图4所示：

    ∵四边形ABMN为菱形，
    ∴NA∥BM，AN=NB．
    设点N的坐标为（x，2）．由两点间的距离公式可知：（x+1）2+22=x2．
    解得：x=-2.5．
    ∴点N的坐标为（-2.5，2）．
    ∴点N的坐标为（0，-2），（$\sqrt{5}$，2），（-$\sqrt{5}$，2），（-2.5，2）．
    （3）如图5所示：

    使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标为Q1（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），Q2（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），Q3（2，$\frac{7}{2}$），Q4（-2，$\frac{1}{2}$）．
    说明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．
    ∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
    ∴P（$\frac{3}{2}$，0）．
    ∴OP=$\frac{3}{2}$．
    由题意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．
    ∴∠OPA+∠CPQ1=90°．
    ∵∠APO+∠OAP=90°，
    ∴∠OAP=∠MPQ1．
    在△AOP和△PMQ1中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠{Q}_{1}MP}\\{∠OAP=∠MP{Q}_{1}}\\{AP=P{Q}_{1}}\end{array}\right.$，
    ∴△AOP≌△PMQ1．
    ∴Q1M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2
    ∴OM=OP+PM=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$．
    ∴点Q1的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．

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