Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点，且∠BDE=∠A．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，∠C=60°，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠BDO=90°，加上∠A=∠ADO，∠BDE=∠A，则∠BDE=∠ADO，所以∠BDE+∠BDO=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（2）利用互余得到∠A=30°，则∠DOE=60°，然后在Rt△ODE中根据含30度的直角三角形三边的关系即可求出DE的长．

解答：解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠BDE=∠A，
∴∠BDE=∠ADO，
∴∠BDE+∠BDO=90°，
即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∴∠DOE=60°，
在Rt△ODE中，∵∠E=90°-∠DOE=30°，
∴DE=

3

OD=3

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．