分析 (1)把点(1,-1)代入抛物线解析式,列出关于系数a的方程,通过方程来求a的值;
(2)利用待定系数法求得平移后抛物线的解析式,易求平移后的抛物线的顶点坐标,根据抛物线平移前后顶点坐标的变化来推断抛物线的平移规律;
(3)需要对点A的位置进行分类讨论:点A在x轴的上方和点A在x轴的下方两种情况.根据点A的坐标易求直线OA的解析式,由直线OA和抛物线C3的交点来求点B的坐标即可.
解答 解:(1)把(1,-1)代入y=ax2,
得a=-1,
故该抛物线的解析式为:y=-x2;
(2)抛物线C2是由抛物线C1向右平移1个单位,向上平移3个单位得到的.理由如下:
设抛物线C2的解析式为:y=-(x-1)2+k.
把(0,2)代入,
得 2=-1+k,
解得k=3.
故抛物线C2的解析式为:y=-(x-1)2+3,
则其顶点坐标为(1,3).
所以由抛物线C1的顶点(0,0)向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到抛物线C2的顶点坐标(1,3).
所以,抛物线C2是由抛物线C1向右平移1个单位,向上平移3个单位得到的.
(3)当OP=AP时,A(1,1)或(1,-1).
当A(1,1)时,y=-(x-1)2+1,直线OA与抛物线没有交点B.
故A(1,-1).
所以抛物线C3的解析式为:y=-(x-1)2-1.
∴直线OA是二、四象限的角平分线,设B(a,-a),a>0,
则-a=-(a-1)2-1,
解得a1=1(舍去),a2=2,
∴B(2,-2).
设P点到OA的距离是h,则h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴PB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴sin∠ABP=$\frac{h}{PB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
点评 本题考查了二次函数图象的几何变换,待定系数法求二次函数解析式,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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