【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
【答案】
(1)
解:将A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得
∴
∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3
(2)
解:存在
理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小
∵y=﹣x2﹣2x+3
∴C的坐标为:(0,3)
直线BC解析式为:y=x+3
Q点坐标即为
解得
∴Q(﹣1,2)
(3)
解:存在.
理由如下:设P点(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)
∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣
若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大,
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
= BEPE+ OE(PE+OC)
= (x+3)(﹣x2﹣2x+3)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)
=
当x=﹣ 时,S四边形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=
当x=﹣ 时,﹣x2﹣2x+3=
∴点P坐标为(﹣ , )
【解析】(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式;(2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想△QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求;(3)存在,设得点P的坐标,将△BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标.
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【题目】如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B(﹣2,0),C两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y= x2+bx+c向上平移 个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
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【题目】为了迎接党的十八大的召开,某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛,每位学生只能参加一次比赛,比赛成绩只分A、B、C、D四个阶段.随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行统计分析,并绘制了如下的统计图表: 根据表中的信息,解决下列问题:
成绩等级 | A | B | C | D |
人数 | 60 | x | y | 10 |
占抽查学生总数的百分比 | 30% | 50% | 15% | m |
(1)本次抽查的学生共有名;
(2)表中x、y和m所表示的数分别为:X= , y= , m=;
(3)请补全条形统计图.
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【题目】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy.△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标是(4,4 ),请解答下列问题:
(1)将△ABC向下平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1 , 并写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A3B3C.
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【题目】如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 .
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【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=5,PB=12,PC=13,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数.
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【题目】如图,小强和小华共同站在路灯下,小强的身高EF=1.8m,小华的身高MN=1.5m,他们的影子恰巧等于自己的身高,即BF=1.8m,CN=1.5m,且两人相距4.7m,则路灯AD的高度是 .
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=L,称跨度,桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,当L和h确定时,有两种设计方案可供选择:①抛物线型,②圆弧型.已知这座桥的跨度L=32米,拱高h=8米.
(1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式;
(2)如果设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径;
(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,在两种方案中分别求桥墩的高度.
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