Question

小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=30cm，在AB边上有一系列点P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°．
（1）求P₃A的长（结果保留根号）；
（2）求P₅A的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；
（3）小明发现P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

Answer 1

解：（1）连接P₃C，
∵∠P₃CA=∠A，
∴P₃C=P₃A．
又∵∠P₃CB=∠BCA-∠P₃CA=60°，且∠B=∠BCA-∠A=60°，
∴∠P₃CB=∠B，
∴P₃C=P₃B，
∴P₃A=P₃B=AB．
在Rt△ABC中，cos∠A=，
∴AB==20cm．
∴P₃A=AB=10cm．

（2）连接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足为D．
由题意得，∠P₅CA=50°，设CD=xcm．
在Rt△P₅DC中，tan∠P₅CD=，
∴P₅D=CD•tan∠P₅CD=1.2x．
在Rt△P₅DA中，tan∠A=，
∴DA==1.2x．
∵CA=30cm，
∴CD+DA=30cm．
∴x+1.2x=30．
∴x=．
在Rt△P₅DA中，sin∠A=
∴P₅A==2.4x．
∴P₅A=2.4×≈24cm．

（3）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°．
当P₁，P₂，P₃…P₈在斜边上时．
∵∠B=90°-∠A=45°，
∴∠B=∠A，∴AC=BC．
在△P₁CA和△P₈CB中，
∵∠P₁CA=∠P₈CB，AC=BC，∠A=∠B，
∴△P₁CA≌△P₈CB．∴P₁A=P₈B．
同理可得P₂A=P₇B，P₃A=P₆B，P₄A=P₅B．
则P₁P₂=P₈P₇，P₂P₃=P₇P₆，P₃P₄=P₆P₅．
在P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，有三对相邻点距离相等．
分析：（1）连接P₃C，求出P₃C=P₃A．P₃C=P₃B，推出P₃A=P₃B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=，求出AB==20cm，即可求出答案；
（2）连接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足为D．∠P₅CA=50°，设CD=xcm．求出P₅D=CD•tan∠P₅CD=1.2x．求出DA=1.2x．根据CD+DA=30cm得出x+1.2x=30．求出x=．在Rt△P₅DA中，求出P₅A=2.4x，即可求出答案；
（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，当P₁，P₂，P₃…P₈在斜边上时，求出AC=BC，证△P₁CA≌△P₈CB，推出P₁A=P₈B．同理可得P₂A=P₇B，P₃A=P₆B，P₄A=P₅B．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，本题有一定的难度．