Question

6．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y=a（x-m）²+a（x-m）与y=a（x-m）²-a（x-m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式y=2（x-3）²+2（x-3）与y=2（x-3）²-2（x-3）；
（2）判断二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a与m的值；如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x=2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据新定义，只要两个解析式给出相同的a值和相同的m值即可；
（2）通过变形得到y=x²-x=（x-1）²+（x-1），y=x²-3x+2=（x-1）²-（x-1），于是根据新定义可判断二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是兄弟抛物线；
（3）设对称轴为直线x=2且开口向上的抛物线解析式为y=2（x-2）²+k（k＜0），如图，利用抛物线的对称性可判断△PAB为等腰直角三角形，则利用等腰直角三角形的性质得AB=-2k，所以B（2-k，0），
再把B（2-k，0）代入y=2（x-2）²+k可解得k₁=0（舍去），k₂=-$\frac{1}{2}$，于是得到A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），所以抛物线解析式为y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$），然后根据新定义写出它的兄弟抛物线的解析式．

解答 解：（1）抛物线y=2（x-3）²+2（x-3）与y=2（x-3）²-2（x-3）是兄弟抛物线；
故答案为y=2（x-3）²+2（x-3），y=2（x-3）²-2（x-3）；
（2）二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：
∵y=x²-x=（x-1）²+（x-1），
y=x²-3x+2=（x-1）²-（x-1），
∴二次函数y=x²-x与y=x²-3x+2的图象是兄弟抛物线．此时a=1，m=1．
（3）设对称轴为直线x=2且开口向上的抛物线解析式为y=2（x-2）²+k（k＜0），如图，
∵△PAB为直角三角形，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴AB=-2k，
∴B（2-k，0），
把B（2-k，0）代入y=2（x-2）²+k得2k²+k=0，解得k₁=0（舍去），k₂=-$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），
∴抛物线解析式为y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$），
当y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$-1），则与y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$-1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$+1）=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$），即y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）与y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$）为兄弟抛物线；
当y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$+1），则与y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$+1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$-1）=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{7}{2}$），即y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）与y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{7}{2}$）为兄弟抛物线．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．