Question

如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．
（1）如图（1），若∠BAC=∠DAE=90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；
（2）如图（2），若∠BAC=∠DAE=60°，求∠BFC的度数；
（3）如图（3），若∠BAC=∠DAE=α，直接写出∠BFC的度数．（不需说明理由）

Answer 1

分析：①判定BD与CE的关系，可以根据角的大小来判定．由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，进而得△BAD≌△CAE，所以∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB．再由∠BAC=∠DAE=90°，所以BD⊥CE．
②根据①的∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，所以∠BFC=∠BAC，再由∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BFC=60°
③根据②∠BFC=∠BAC，所以∠BFC=α．

解答：①BD与CE相互垂直，BD=CE．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE
在△BAD与△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠BFC=90°
∴BD⊥CE．

解：②由题①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，
∴∠BFC=∠BAC
∴∠BFC=60°．
③∠BFC=α．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质，以及角之间的关系，同学们应该熟练掌握．