Question

21、图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．

解答：解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．
∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB．
∴△ACN≌△MCB．
∴AN=BM．

（2）∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE=∠CMB．
∵∠MCN=60°=∠ACM，AC=MC，
∴△ACE≌△MCF．
∴CE=CF．
∴△CEF的形状是等边三角形．

点评：本题考查了SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．