Question

如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）试说明：

AM

AD

=

HG

BC

；
（2）求这个矩形EFGH的宽HE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度．

解答：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴

AM

AD

=

HG

BC

；

（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=30cm，
∴AM=（30-x）cm，
∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
由（1）

AM

AD

=

HG

BC

可得

30-x

30

=

2x

40

，
解得，x=12，
∴宽HE的长为12cm．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．