Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．

（1）求证：△OAE≌△OBG．

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形.

【解析】试题分析：

（1）这两个三角形有一条直角边相等，一个直角相等只需证还有一条边相等即可；

（2）先证AF是BG的垂直平分线，再分别求出∠BEF和∠BFE的度数.

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．

∵BH⊥AF，∴∠AHG=∠AHB=90°，∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，

∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．

∴在△OAE与△OBG中，，

∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下：

在△AHG与△AHB中，，

∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，

∴AF是线段BG的垂直平分线，∴EG=EB，FG=FB．

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE，∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，

∴四边形BFGE是菱形.

点睛;本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质等知识点是一个比较难的四边形的综合题，在证明的过程中要注意一个基本几何图形“8字形”的运用，如下图通常称为“8字形”，如果∠A=∠B，那么∠D=∠C，这种寻找角的关系的图形在几何证明中会经常遇到，需要熟悉掌握.