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    5．如图（1），四边形ABCD是一张边长为2a的正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使点B落在EF上，对应点为B′．
    （1）求∠EGB′的度数；
    （2）求tan∠B′CG（结果保留根号）；
    （3）如图（2），按以下步骤进行操作：
    第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；
    第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；
    第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，求四边形B′PD′Q的面积．

    分析 （1）根据折叠的性质，CB′=BC=2a，CF=a，易求∠CB′F=30°，再根据同角的余角相等得出∠EGB′=30°；
    （2）在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，EB′=2a-$\sqrt{3}$a，设GB′=x，则EG=a-x，在Rt△EGB′中，根据勾股定理列方程求解，然后根据正切定义计算即可；
    （3）连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形，又PB′=$\frac{1}{2}$CG，根据勾股定理求出CG，即可求出四边形B′PD′Q的面积．

    解答 解：（1）根据折叠的性质，CB′=BC=2a，CF=a，
    ∵$\frac{CF}{CB′}=\frac{1}{2}$
    ∴∠CB′F=30°，
    ∵∠GB′C=90°，
    ∴∠EGB′=30°；
    （2）如图1，在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，
    ∴EB′=2a-$\sqrt{3}$a，
    设GB′=x，则EG=a-x，
    ∴x2=（a-x）2+（2a-$\sqrt{3}$a）2，
    解得：x=（4-2$\sqrt{3}$）a，
    在Rt△CGB′中，
    tan∠B′CG=$\frac{GB′}{CB′}=\frac{（4-2\sqrt{3）}a}{2a}$=2-$\sqrt{3}$；
    证明：如图2，连接AB′
    由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN，
    ∴∠B′AE=∠PCN，
    由对折知∠AEB′=∠CNP=90°，AE=$\frac{1}{2}$ AB，CN=$\frac{1}{2}$ BC，
    又∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=BC，
    ∴AE=CN，
    在△AEB′和△CNP中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠B′AE=∠PCN}\\{AE=CN}\\{∠AEB′=∠CNP}\end{array}\right.$，
    ∴△AEB′≌△CNP（ASA），
    ∴EB′=NP，
    同理可得，EB′=MQ，
    由对称性可知，EB′=FD′，
    ∴EB′=NP=FD′=MQ，
    由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，
    ∴OB′=OP=0D′=OQ，
    ∴四边形B′PD′Q为矩形，
    由对折知，MN⊥EF，于点O，
    ∴PQ⊥B′D′于点0，
    ∴四边形B′PD′Q为正方形，
    根据折叠的性质知，P为CG的中点，
    ∴PB′=$\frac{1}{2}$CG，
    ∵CG2=BG2+CB2=[（4-2$\sqrt{3}$）a]2+（2a）2=（32-16$\sqrt{3}$）a2，
    ∴四边形B′PD′Q的面积=PB′2=（$\frac{1}{2}$CG）2=$\frac{1}{4}$×（32-16$\sqrt{3}$）a2=（8-$\sqrt{3}$）a2．

    点评 本题主要考查了四边形的综合题，解决本题的关键是找准对折后的相等角，相等边，解决第3小题的关键是证明四边形B′PD′Q是正方形．

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    ④点C到AB的距离是线段CD
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