Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，

BD=CE ∠B=∠C BE=CF

，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
要△DEF是等边三角形，只要∠DEF=60°．
所以，当∠A=60度时，∠B=∠DEF=60，
则△DEF是等边三角形．

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，关键是证明△DBE≌△ECF．