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如图:已知在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一个含30°的直角三角形DEF的最小内角所在的顶点D与直角三角形ABC的顶点C重合,当△DEF绕着点C旋转时,较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G,H两点(G,H可以与B,A重合)
(1)如图(1),当∠BCF等于多少度时,△BCG≌△ACH?请给予证明;
(2)如图(2),设GH=x,阴影部分(两三角形重叠部分)面积为y,写出y与x的函数关系式;当x为何值时,y最大,并求出最大值.(结果保留根号)

【答案】分析:(1)在△BCG和△ACH中,已经知道一组边和一组角相等,只要∠BCF=∠ACH即可,根据题中数据,即可求出.
(2)作CM⊥AB,可根据AC、BC求出CM,然后根据三角形面积公式解答.
解答:解:(1)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠A=∠B=45°,
当∠ACH=∠BCG时,△BCG≌△ACH.
又因为∠GCH=30°,
所以∠BCF=∠ACH=30°.

(2)作CM⊥AB于M,
因为在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,
所以AB=2,因此CM=
所以S△GCH=,即y=x.
当G和B重合、或H和A重合时,面积最大,如图:作HK⊥BC与K,
在Rt△BHK中,因为BH=x,
所以BK=HK=x,
又∵在RT△CHK中,∠HCK=30°,
∴CK=KH=x,
因此BC=BK+CK,即
解之得:x=
此时y==
点评:此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识,难易程度适中.
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科目:初中数学 来源: 题型:

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(1)如图(1),当∠BCF等于多少度时,△BCG≌△ACH?请给予证明;
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如图②,若三角形ABC为任意等腰三角形AB=AC,E为AB上任意一点,△ABC∽△DEC.连接AD,那么AD∥BC吗?若平行,请证明.若不平行,说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知在等腰直角三角形△DBC中,∠BDC=90°,BF平分∠DBC,与CD相交于点F,延长BD到A,使DA=DF,
(1)试说明:△FBD≌△ACD;
(2)延长BF交AC于E,且BE⊥AC,试说明:CE=
12
BF

(3)在(2)的条件下,若H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.试探索CE,GE,BG之间的数量关系,并说明理由.

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如图,已知在等腰直角三角形△DBC中,∠BDC=90°,BF平分∠DBC,与CD相交于点F,延长BD到A,使DA=DF,延长BF交AC于E,
(1)试说明:△FBD≌△ACD;
(2)试说明:△ABC是等腰三角形;
(3)试说明:CE=
12
BF.

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科目:初中数学 来源:2013届浙江省杭州市萧山临浦片八年级12月月考数学卷 题型:解答题

(本题10分)如图,已知在等腰直角三角形中,平分,与相交于点,延长,使

1.(1)试说明:

2.(2)延长,且,)试说明:

3.(3)在⑵的条件下,若边的中点,连结相交于点

试探索,之间的数量关系,并说明理由

 

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