Question

如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F

（1）求证：△ADE∽△BEF；

（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°．

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°．

∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．

∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，

∴△ADE∽△BEF．

 

（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，

∴OG⊥DG．

∴∠DGO=90°．

∵DH=OH=OG，

∴sin∠ODG==．

∴∠ODG=30°．

∴∠GOE=120°．

∴S_扇形OEG==3π．

在Rt△DGO中，

cos∠ODG===．

∴DG=3．

在Rt△DEF中，

tan∠EDF===．

∴EF=3．

∴S_△DEF=DE•EF=×9×3=，

S_△DGO=DG•GO=×3×3=．

∴S_阴影=S_△DEF﹣S_△DGO﹣S_扇形OEG

=﹣﹣3π

=.9﹣3π

≈9×1.73﹣3×3.14

=6.15

≈6.2

∴图中阴影部分的面积约为6.2．