Question

【题目】如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；（2）m＝﹣6或﹣4或﹣；（3）a＝，h＝﹣1，m＝﹣12

【解析】

（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；
（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用等腰三角形性质和勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再证△AOB∽△AMG，根据相似三角形性质可求出m的值即可．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，

由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴FC＝4，

设DE＝x，则CE＝8﹣x，

在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，

∴CE＝8﹣x＝3，

∵点B的坐标为（m，0），

∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；

（2）分三种情形讨论：

若AO＝AF，

∵AB⊥OF，BF＝6，

∴OB＝BF＝6，

∴m＝﹣6；

若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；

若AO＝OF，

在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，

∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；

由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣；

（3）由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），

∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，

∴，

解得，，

∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，

∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），

设对称轴交AD于G，

∴G（m﹣6，8），

∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，

∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，

∴∠OAB＝∠MAG，

又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，

∴△AOB∽△AMG，

∴，

即，

解得，m＝﹣12，

由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12．