Question

3．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，延长AB到点C，使BC=AB，D是⊙O上一点，DC=6$\sqrt{2}$．
（1）求证：△CDB∽△CAD；
（2）求：tanC的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知及相似三角形的判定方法进行解答即可；
（2）连接OD，通过三角形相似，得到∠CDB=∠A，∠CDB=∠ADO，由于AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，∠CDB+∠ODB=90°，证得CD是⊙O的切线，由锐角三角函数即可解得．

解答 证明：（1）∵AB=6，BC=AB，DC=6$\sqrt{2}$，
∴AC=12，BC=6，
∴$\frac{DC}{AC}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD；

（2）连接OD，则有OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴∠A=∠ADO，
∵△CDB∽△CAD，
∴∠CDB=∠A，
∴∠CDB=∠ADO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
即∠ODC=90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴tanC=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{3}{6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质和判定，连接OD，证明OD是⊙O的切线是解题的关键．