Question

我们给出如下定义：若一个四边形ABCD中AC⊥BD，BD平分AC，则称这个四边形为筝形四边形．
（1）小明说：“筝形四边形一定是菱形”．你认为小明的说法是否正确？若正确请说明理由；若不正确，请举个反例说明．
（3）在筝形ABCD中，AD=CD，AB=BC，若∠ADC=∠ABC，tan∠DAC=1．求证：筝形ABCD是正方形．

Answer 1

分析：（1）根据已知不能推出符合平行四边形的判定定理的条件，即得不出四边形ABCD是平行四边形，即不能得出四边形ABCD是菱形；
（2）先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理推出∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，求出∠BAD=∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，根据AB=BC，推出平行四边形ABCD是菱形，由tan∠DAC=1，求出∠DAC=45°，求出∠BAD=90°，根据正方形的判定推出即可．

解答：（1）解：小明的说法不对：如图：

∵由已知BD平分AC和AC⊥BD不能推出OB=OD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
即筝形四边形不一定是菱形，
∴小明的说法不对．

（2）证明：∵AB=BC，AD=DC，

∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∵∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即∠BAD=∠BCD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵tan∠DAC=1，
∴∠DAC=45°，
∴∠BAD=45°+45°=90°，
∴菱形ABCD是正方形．

点评：本题考查了正方形、平行四边形、菱形、矩形的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．