Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+1与双曲线y=

k

x

（k＞0）相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D（2，-3），连结OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形．
（1）求k和m的值．
（2）当x取何值时，反比例函数值不小于一次函数值．
（3）设点P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AD，与x轴交于点E，由四边形AODC为菱形，得到AE=DE，OE=CE，根据D坐标确定出DE的长，确定出AE与OE的长，进而求出A的坐标，将A坐标代入直线解析式求出m的值，代入反比例解析式求出k的值；
（2）联立两函数解析式求出B坐标，根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值不小于一次函数值时x的范围即可；
（3）根据OC与AD的长，求出菱形ABCD的面积，设P（0，p），由OP为底，A横坐标为高表示出△OAP面积，根据△OAP的面积等于菱形OACD的面积，列出关于p的方程，求出方程的解即可得到p的值．

解答：解：（1）连接AD，与x轴交于点E，
∵D（2，-3），
∴OE=2，ED=3，
∵菱形AODC，
∴AE=DE=3，EC=OE=2，
∴A（2，3），
将A坐标代入直线y=mx+1得：2m+1=3，即m=1，
将A坐标代入反比例y=

k

x

得：k=6；
（2）联立直线与反比例解析式得：

y=x+1 y= 6 x

，
消去y得：x+1=

6

x

，
解得：x=2或x=-3，
将x=-3代入y=x+1得：y=-3+1=-2，即B（-3，-2），
则当x≤-3或0＜x≤2时，反比例函数值不小于一次函数值；
（3）∵OC=2OE=4，AD=2DE=6，
∴S_菱形AODC=

1

2

OC•AD=12，
∵S_△OAP=S_菱形OACD，即

1

2

OP•OE=12，
∴设P（0，p），则

1

2

×|p|×2=12，即|p|=12，
解得：p=12或p=-12，
则P的坐标为（0，12）或（0，-12）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键．