Question

24、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；
（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．

解答：证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠DCB，（1分）
∵AE=DC，
∴AE=AB，（1分）
∴∠B=∠AEB，（1分）
∴∠DCB=∠AEB，（1分）
∴AE∥DC，（1分）
∴四边形AECD为平行四边形；（1分）

（2）∵AE∥DC，
∴∠EAC=∠DCA，（1分）
∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=2∠DCA，（1分）
∴∠ECA=∠DCA，（1分）
∴∠EAC=∠ECA，（1分）
∴AE=CE，（1分）
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形．（1分）

点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．