Question

如图所示，点A，B的坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从点A出发沿射线AO方向以每秒3个单位的速度运动，同时，动点E从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，EF∥x轴交AB于F，连接FP，当点E到达点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示EF的长度；
（2）当点P在线段OA上（不包括O，A）运动时，记梯形OPFE的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出当t为何值时，S最大，最大值是多少？
（3）是否存在点P，使△EFP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：OA=OB=28，OE=t，因为EF∥x轴，所以△BEF∽△BOA，根据相似三角形的性质可得关于BE，BO，EF，OA的比例式，把已知数据代入即可得到EF和t的关系式；
（2）要求梯形的面积就要知道两底和高的值，根据动直线的速度，可以用时间表示出OE的长，也就表示出了梯形的高，根据P的速度可用时间t表示出AP，然后根据AO的长得出OP的长，现在关键是底EF的长，由于△AOB是个等腰直角三角形，那么△BEF也应该是个等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的长，就可以表示出BE，EF的长，这样可根据梯形的面积公式求出梯形的面积，也就求出了梯形的面积与t的函数关系式，就能求出当t=1时梯形的面积，也能求出梯形的最大面积以及对应的t的值；
（3）存在点P，使△EFP为等腰三角形，分三种情况：①当PE=PF时，点P在EF的中垂线上②当EF=PF时，③当EF=EP时讨论，根据勾股定理求出符合题意的t值即可．

解答：解：（1）由已知得：OA=OB=28，OE=t，
∴BE=28-t，
∵EF∥x轴，
∴△BEF∽△BOA，
∴

BE

BO

=

EF

OA

，
∴

28-t

28

=

EF

28

，
∴EF=28-t；

（2）∵PA=3t∴OP=28-3t，
∴S=

1

2

（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2 （t-7）²+98，
∴当t=7时，S最大，最大值为98；

（3）存在点P，使△EFP为等腰三角形，分三种情况：
①当PE=PF时，点P在EF的中垂线上（如图1），
由（1）知点F为（28-t，t），
∴xP=

xE+xF

2

=14-

1

2

t，
∴14-

1

2

t+3t=28，
∴t=

28

5

，
∴OP=28-3t=

56

5

，
∴P₁（

56

5

，0），
②当EF=PF时，如图2，作FH⊥OA于H，则FH=t，
∴AH=t，
∴PH=3t-t=2t，
由勾股定理得：（28-t）²=t²+（2t）²
∴t1=-7+7

5

，t2=-7-7

5

（不合题意，舍去）
∴OP=49-21

5

，
∴P₂（49-21

5

，0），
③当EF=EP时，如图3，OP=3t-28，
由勾股定理得：（28-t）²=t²+（3t-28）²
∴t₁=0（舍去），t₂=

112

9

，
∴OP=3t-28=

84

9

∴P₃（-

28

3

，0）．
综上所述，当P₁（

56

5

，0），P₂（49-21

5

，0），P₃（-

28

3

，0）时，△PEF为等腰三角形．

点评：本题主要考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，相似是三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识点，根据直角三角形的各特殊角得出线段间的大小关系是解题的关键，题目的综合性很强，难度不小．