Question

17．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，连接AC并延长至D，使DC=CA，连接DB，点E为OB的中点，连接CE并延长交DB的延长线于点F，连接AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，得出∠ACB=90°，∠BAC=∠ABC=45°，再由DC=CA，根据相等垂直平分线的性质得出AB=DB，得出∠D=∠BAC=45°，∠ABD=90°，即可得出结论；
（2）连接OC，则OC⊥AB，证出OC∥DF，由E是OB的中点，得出BF=OC=OB，根据勾股定理求出AF，然后由△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，即可求出BH．

解答 （1）证明：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，
∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵DC=CA，
∴AB=DB，
∴∠D=∠BAC=45°，
∴∠ABD=90°，即DF⊥AB，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图所示：
则OC⊥AB，
∴OC∥DF，
∵E是OB的中点，
∴BF=OC=OB=2，
∵∠ABF=90°，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$AF•BH，
∴BH=$\frac{AB••BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．