Question

16．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A开始以1cm/s的速度向点C运动，点E从点C开始以2cm/s的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为ts，过点E作EF∥AC交AB于点F．
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？
（3）求证：DC=EF．
（4）连接CF，当CF平分∠ACB时，直接写出AF与BF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2，
（2）根据直角三角形的性质得到CE=$\frac{1}{2}$DC，列方程得到2t=$\frac{1}{2}$（6-t），根据直角三角形的性质列方程得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=（6-t）cm，BE=（12-2t）cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（12-2t）=（6-t）cm，即可得到结论；
（4）根据三角形的内角和得到∠ACB=60°，根据角平分线的定义得到∠ACF=∠BCF=30°，根据等腰三角形的判定得到BF=CF，等量代换即可得到结论．

解答 解：由题意得AD=tcm，CE=2tcm，
（1）若△DEC为等边三角形，则EC=DC，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）若△DEC为直角三角形，当∠CED=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$DC，
∴2t=$\frac{1}{2}$（6-t），
解得：t=1.2，
当∠CDE=90°时，∴$\frac{1}{2}$CE=DC，
∴$\frac{1}{2}×2t$=6-t，
∴t=3，
∴t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；

（3）∵∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，
∴BC=12cm，
∴DC=（6-t）cm，BE=（12-2t）cm，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE=90°，
∵∠B=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（12-2t）=（6-t）cm，
∴EF=CD；
（4）∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF=30°，
∴∠B=∠BCF，AF=$\frac{1}{2}$CF，
∴BF=CF，
∴BF=2AF．

点评 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．